已知抛物线的内接的三条边所在的直线均与抛物线相切,求证:三点的纵坐标之和为.
分析与解法一
设三边所在的直线分别为,切点分别为,,且的交点为,的交点为,的交点为,则
于是有
进而由均在抛物线上可得
于是可得
即
若,则将前面方程组中左右两边分别相乘可得
于是有
所以,矛盾;
所以有,进而原命题得证.
法二设,有.从而直线的方程为
联立的方程与消去得
由与相切得判别式
整理得.同理有,两式相减得因为,所以,命题得证.
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