2012年北京市海淀区高考二模第20题（压轴题）：

将一个正整数表示为()的形式，其中()，且，记所有的这种表示法的种数为(如，，，，，故)．

(1) 计算，；

(2) 求证：，其中；

(3) 当且时，求证：．

分析与解(1) ，．

(2) 只需要证明注意到在的所有表示法前加上“”就可以得到的表示法中所有以开头的表示法，因此的表示法中以为第一项的有种，不以开头的有种；

类似的，的表示法中，不以开头的有种．

而在的表示法中所有不以开头的表示法中最后一项加上就可以得到的表示法中不以开头的表示法，且这些表示法均不相同，因此命题得证．

(3) 当时，有，命题成立．

接下来直接证明而的表示法中不以开头的表示中包含或者利用第(2)小题的结果，得到

累加即得所证不等式．