2011年广东卷高考数学理科第21题（压轴题）：

在平面直角坐标系上，给定抛物线

．实数满足，是方程的两根，记．

(1) 过点

()作的切线交轴于点．证明：对线段上的任一点，有

；

(2) 设是定点，其中满足，．过作的两条切线，切点分别为

，

，与轴分别交于．线段上异于两端点的点集记为．证明：

(3) 记

，当取遍时，求的最小值(记为)和最大值(记为)．

分析与解(1)法一显然

在抛物线上，于是过点的抛物线的切线方程为

若，则线段的方程为

若，则线段的方程为

又若，则方程的两根为

，若在线段上，则

从而，从而两根为

当时，，则

当时，，则

因此原命题得证．

法二过点的抛物线的切线方程为

于是有

，从而考虑方程

的两根即可．

记方程左边为，则有

所以方程的一根为

，另一根

，从而知

．

(2) 由题意知的方程分别为

联立解得点的坐标为

．从而考虑方程

它的两根为

，所以

．

由此知等价于

．下面证明当与它们等价：

由(1)知时，

；

若，有

从而有．

(3) 如图，表示直线与抛物线

所围成的封闭区域(包含边界)，其中，是直线与抛物线的两个交点．

当点时，有

从而其中．于是有

从而

因此．

设，其中，则

所以

．

综上所述，且