答案．

分析与解注意到是函数的零点，而不是函数的零点，于是问题等价于函数

的图象与直线

有两个公共点．函数的导函数

设函数

则其导函数

于是的最小值为．这样我们就得到了在，，上均单调递增．显然在上，；在上；在上．于是当时，函数的图象与直线

至多只有一个公共点，不符合题意．

接下我们证明当时，函数的图象与直线

恰好有两个公共点，它们的横坐标分别位于区间和．证明的关键在于在每个区间上，对于任意给定的正数，都存在比大的函数值以及比小的函数值．

在区间上，由于

而在区间上，函数

可以取到比大的函数值，而函数

可以取到比小的函数值；

在区间上，一方面由积分两次可得

而在区间上，函数

可以取到比大的函数值；另一方面，在区间上，有

而在区间上，函数

可以取到比小的函数值．

综上，实数的取值范围是．

注对在上进行积分得

再积分一次即可得到

，也可以直接证明此不等式，但积分可以得到这个不等式的样子，我们希望分子是一个三次函数．

另法对求导得从而有当时，，单调递增，从而最多有两个单调区间，不可能有三个不同的零点；

当时，先减后增，最小值为，而，所以一定有两个零点，记为，且有．

而当时，可以取到正数；时，可以取到正数（严格来说，需要对进行放缩以证明或者取出特殊点，同原题方法）．所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，而，所以，而在时可以取到负值，在时可以取到正数（仍然需要严格处理函数，同原题方法），所以此时一定有三个零点，所以的取值范围是．