已知椭圆

()的离心率

，过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为．

(1) 求椭圆的方程；

(2) 斜率为的动直线与椭圆交于两点，在平面上是否存在定点，使得当直线与直线的斜率均存在时，斜率之和是与无关的常数?若存在，求出所有满足条件的定点的坐标；若不存在，请说明理由．

分析与解(1) 根据题意，通径长

，于是椭圆的方程为

．

(2) 法一 仿射变换

利用仿射变换．设定点的坐标为，平移坐标系，使点为坐标原点，则椭圆方程变为

当不过点时，设动直线的方程为，则联立直线与椭圆方程，有

整理得的系数为

而的系数为

根据题意，直线与直线的斜率之和

为定值．于是

解得，

或，

．对应的点在椭圆上，于是不需要考虑过点的情形．

综上所述，所有满足条件的定点的坐标为

或

．

注可以将椭圆仿射为圆，则直线的斜率为

，于是点始终平分弧，进而可取，此时，因此直线与直线的斜率始终互为相反数，符合题意．

法二 直接计算

设

，与椭圆方程联立得设

，则有直线的斜率之和

当

时斜率的和恒为，解得

综上所述，所有满足条件的定点的坐标为

或