(2013年海淀高三期末)已知正方体的棱长为，动点在正方体表面上运动，且()．记点的轨迹的长度为．

(1) 求

；

(2) 求出关于的方程的解的个数的所有可能的值，并说明理由．

分析与解由于正方体绕其体对角线旋转后仍与自身重合，于是为点在正方体的侧面与上的轨迹长度之和的倍．将右侧面翻折至与侧面重合，如图．稍加探索可以发现和是两个分界点．

(1) 当时，有

，于是

．

(2) 当时，图中弧的半径为，所对的圆心角为

记

，其中

，则对应的弧长

其导函数

于是随着的增大，随之增大，对应的弧长随之减小，随之减小．

当时，设

，其中

，则弧长之和

于是

设

则

，

，而

因此在

上先负后正，对应的在

先递减再递增．

这样我们就可以勾勒出函数的图象如下．

于是方程的解的个数的所有可能值为．

注本题是北京海淀区高三期末考试的一道填空题，为了严格地说清为什么解的个数有且只有这些很需要费一番功夫．