1436人阅读(2011年广东卷)设，数列满足，
(，)．
(1) 求数列的通项公式；
(2) 证明：对于一切正整数，
．
分析与解(1) 当时，
，则数列
是以
为首项，为公差的等差数列，于是
，从而．
当时，
法一有
猜想
，下面用数学归纳法证明．
当时，猜想显然成立；
假设当时，
，则
所以当时猜想亦成立．
综上，猜想得证，因此
，．
法二由
可得数列
是以
为首项，为公比的等比数列，于是
于是
．
(2) 当时，，
，于是
从而原不等式成立；
当时，
法一欲证明不等式即
整理知也即证
设不等式左侧为，注意到
于是
所以考虑到
而
于是．
法二用分析法，有
由均值不等式，上述不等式成立，因此原命题得证．
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